Главная страница
qrcode

Предмет теоретической механики. Разделы


НазваниеПредмет теоретической механики. Разделы
Дата04.02.2020
Размер0.75 Mb.
Формат файлаdocx
Имя файла1912-2204.docx
ТипЗакон
#40190
Каталог

С этим файлом связано 967 файл(ов). Среди них: Матеріал для курсової 1(1,2 як мінімум).pdf, Английский язык.doc, Osnovy_akterskogo_masterstva.docx, algebra-i-nachala-analiza_ogn_kaz.pdf, дз11.docx, chronograph geo.pdf, Лекция 2.docx, e3-chap-04.ppt, In this video.docx, тема 4.pptx и ещё 957 файл(а).
Показать все связанные файлы
Предмет теоретической механики. Разделы.

Теоретическая механика — это наука, в которой изучаются общие законы механического движения и механического взаимодействия мате­риальных тел.

Курс теоретической механики делится на три раздела: статику, кине­матику и динамику.

Статика — это раздел механики, в котором изучаются методы пре­образования систем сил в эквивалентные системы и устанавливаются условия равновесия сил, приложенных к твердому телу.

Кинематика — это раздел механики, в котором изучается движение материальных тел в пространстве с геометрической точки зрения, вне связи с силами, определяющими это движение.

Динамика — раздел механики, в котором изучается движение мате­риальных тел в пространстве в зависимости от действующих на них сил.

При рассмотрении того или иного явления в нем выделяют главное, определяющее, а от сопутствующих элементов абстрагируются. В результате рассматривают некоторую модель и вводят ряд понятий, отражающих соответствующие свойства явления (объекта). В основе теоретической механики лежат законы классической механики. В классической механике такими абстракциями или моделями являются все вводимые исходные положения и понятия



    Основные понятия теоретической механики.

    Механическим движением называется изменение с течением времени взаимного положения материальных точек в пространстве.

    Механическим взаимодействием называется такое взаимодействие материальных тел, которое изменяет или стремится изменить характер их механического движения.

    Материальной точкой называют материальное тело, размеры которого в рассматриваемых конкретных условиях можно не учитывать.

    Данное упрощение можно вводить исходя из вида накладываемых связей, из относительных размеров тел, из характера движения тел.

    Абсолютным твердым телом называется тело, расстояние между любыми точками которого остается неизменным (не подвержено деформации).

    В природе абсолютных твердых тел не существует, но такое упрощение часто практически не влияет на конечный результат расчетов, поэтому понятие используется не только в теоретической механике.

    Системой материальных точек или тел называется такая система, в которой положение и движение каждой точки или тела зависят от положения и движения других точек или тел этой системы.

    Сила – это мера механического взаимодействия тел, определяющая интенсивность и направление этого взаимодействия. Сила определяется тремя элементами: числовым значением (модулем), направлением (величина векторная) и точкой приложения. За единицу силы по системе СИ принято принимать 1 ньютон (Н). Точка приложения и направление определяют линию действия силы.


    Рисунок 1

    Совокупность нескольких сил, действующих на данное тело, назы­вается системой сил.

    Системы сил, под действием каждой из которых твердое тело нахо­дится в одинаковом кинематическом состоянии, называются эквива­лентными.

    Сила, эквивалентная некоторой системе сил, называется равно­действующей.

    Сила, равная по модулю равнодействующей и направленная по линии ее действия в противоположную сторону, называется уравновешивающей.

    Силы, действующие на механическую систему (тело, совокупность тел), делятся на две группы: внешние и внутренние силы.

    Внешними называются силы, действующие на материальные точки (тела) данной системы со стороны материальных точек (тел), не при­надлежащих этой системе.

    Внутренними называются силы взаимодействия между материальными точками (телами) рассматриваемой системы.

    В зависимости от взаимного расположения сил в пространстве системы сил разделяют на плоские системы (расположенные в одной плоскости), пространственные системы (произвольно расположенные в пространстве), системы сходящихся сил и системы параллельных сил.

      Механические связи и их реакции.

      По определению, тело, которое не скреплено с другими телами и может совершать из данного положе­ния любые перемещения в пространстве, называется свободным (например, воздушный шар в воздухе). Тело, перемещениям которого в пространстве препятствуют какие-нибудь другие, скрепленные или соприкасающиеся с ним тела, называется несвободным. Все то, что ограничивает перемещения данного тела в пространстве, будем называть связью.

      Очень важен так называемый принцип освобождаемости, которым будем пользоваться в дальнейшем. Записывается он так.

      Любое несвободное тело можно сделать свободным, если связи убрать, а действие их на тело заменить силами, такими, чтобы тело оставалось в равновесии.

      Сила, с которой данная связь действует на тело, препятствуя тем ила иным его перемещениям, называется силой реакции (противодействия) связи или просто реакцией связи. Направлена реакция связи в сторону, противоположную той, куда связь не дает перемещаться телу. Если в качестве физического тела рассматривать какой-либо элемент инженерного сооружения (балка, ферма, колонна, плита и т. п.), который передает давление на опоры, то реакции опор (связей) называют опорными реакциями. Все силы, кроме реакции связей, называют заданными силами. Заданные силы чаще всего являются активными, т.е. силами, которые могут вызвать движение тел. Одна из главных задач статики твердого тела - нахождение реакции связей. Для определения реакции связей необходимо найти величину этой реакции, линию и направление ее действия. Линия действия реакции обычно проходит через точку касания тела и связи. Численное значение реакции определяется расчетом, а направление реакции зависит от вида (конструкции) связи. Рассмотрим, как направлены реакции некоторых основных видов связей.1. Гладкая плоскость (поверхность) или опора. Гладкой будем называть поверхность, трением о которую данного тела можно в первом приближении пренебречь. Поэтому реакция N гладкой поверхности или опоры направлена по общей нормали к поверхностям сопри­касающихся тел в точке их касания и приложена в этой точке. 


      2. Нить (гибкие связи). Связь, осуществленная в виде гибкой нерастяжимой нити, не дает телу М удаляться от точки подвеса нити по направлению AM. Поэтому реакция Т натянутой нити направлена вдоль нити от тела к точке ее подвеса. 

      3. Цилиндрический шарнир (подшипник). Если два тела соединены болтом, проходящим через отверстия в этих телах, то такое соединение называется шарнирным или просто шарниром; осевая линия болта называется осью шарнира.

      4. Шаровой шарнир и подпятник. Этот вид связи закреп­ляет какую-нибудь точку тела так, что она не может совершать никаких перемещений в пространстве.


      5. Стержень. Пусть в какой-нибудь конструкции связью является стержень АВ, закрепленный на концах шарнирами. Нагруженный на  концах  стержень, весом  ко­торого по сравнению с этими нагрузками можно пренебречь, работает только на растяжение или на сжатие. Если такой стержень является связью, то реакция 
      6. Подвижная шарнирная опора. Реакция 
      7. Неподвижная шарнирная опора. Реакция R шарнирно-неподвижной опоры расположена в плоскости, перпендикулярной оси возможного вращения, и ее направление определяют две взаимно перпендикулярные составляющие R
      8. Неподвижная защемляющая опора или жесткая заделка. Это соединение исключает возможность каких-либо перемещений абсолютного твердого тела.
        Проекция силы.


        Скалярная величина, равная взятой с соответствующим знаком длине отрезка, заключенного между проекциями начала и конца силы называется проекцией силы на ось.

        Знак плюс проекция имеет, если перемещение от начала к концу происходит в положительном направлении оси, и знак минус если в отрицательном.

        Таким образом, проекции данной силы на любые параллельные и одинаково направленные оси равны друг другу.

        Проекция силы рис. 12
         ).


        Следуя рисунку 12 и определению получаем


        To есть проекция силы на ось равна произведению модуля силы на косинус угла между направлением силы и положительным направлением оси.

        Если сила перпендикулярна оси, то ее проекция на эту ось равна нулю.

        Проекцией силы рис. 13
         )
        Проекция силы на плоскость есть величина векторная и характеризуется как модулем, так и направлением в плоскости Оху. Модуль проекции силы 

        Тогда проекции на оси Ох и Оу:


          Момент силы относительно точки.

          Моментом относительно точки (рисунок 1.1) называется векторное произведение радиус-вектора точки приложения силы на вектор силы.

          M

          Рисунок 1.1

          Вектор момента направлен перпендикулярно плоскости, в которой лежат сила и точка, в ту сторону, откуда поворот от действия силы виден происходящим против хода часовой стрелки.

          Вычисление момента

          Вектор момента характеризует положение плоскости и направление вращательного действия силы, а также дает меру этого действия:

          |M
          где h – плечо силы (кратчайшее расстояние от точки O – центра момента – до линии действия силы). Если сила проходит через точку, то ее момент относительно этой точки равен нулю.

          Момент силы относительно точки не меняется от переноса силы вдоль линии ее действия.

          Если силы расположены в одной плоскости, то используется понятие алгебраического момента силы.

          Алгебраическим моментом силы относительно точки (или центра) называется взятое со знаком плюс или минус произведение модуля силы на плечо (рисунок 1.2).

          Правило знаков

          Знак плюс выбирается в том случае, если сила стремится поворачивать плоскость относительно центра момента против хода часовой стрелки.


          Рисунок 1.2

          Если сила F задана своими проекциями на оси координат F

          Проекции момента силы на оси координат равны:


            Понятие о паре сил. Момент пары сил.

            Система не находится в равновесии, но и не имеет равнодействующей.

            Плоскость, проходящая через линии действия сил называют плоскостью действия пары (рис. 24).


            Расстояние d между линиями действия сил пары называют плечом пары.

            Действие пары сил на твердое тело сводится к вращательному эффекту и зависит от:

            1) модуля F и длины плеча d;

            2) положения плоскости пары;

            3) направления поворота в этой плоскости.

            Для характеристики этого вращательного эффекта вводится понятие момент пары.

            Моментом пары называется величина, равная взятому с соответствующим знаком произведению модуля одной из сил пары на ее плечо.


            Момент пары условимся считать положительным (+), если пара стремится повернуть тело против хода часовой стрелки, и отрицательным (-) - когда по ходу часовой стрелки.

            Обозначение момента пары m или М без индекса имеет свой смысл, так как момент пары нельзя смешивать с моментом силы относительно центра и этот центр указывается в индексе (например: 
            Действие пары сил, как уже указывалось выше, характеризуется тремя условиями. При характеристике пар необходимо задавать все три значения. Но мы знаем, что вектор-нормаль к плоскости задает значения второго и третьего условия. Если мы теперь пронормируем вектор-нормаль значением момента пары, то все три условия будут выполнены. Эти соображения и позволили рассматривать момент пары как вектор.

            Будем изображать момент пары вектором  или , модуль которого равен модулю момента пары, и который направлен перпендикулярно плоскости действия пары, в ту сторону откуда поворот пары виден происходящим против хода часовой стрелки (рис. 25).


            Если рассматривать только пары лежащие в одной плоскости, то вместо вектора момента пары, можно стрелкой указывать только направлением поворота.

            Вектор  на рис. 25 условно изображен выходящим из точек В и D, однако он может изображаться выходящим из середины АВ или CD или из произвольной точки плоскости действия пары, так как


              Основная теорема статики. Главный вектор и главный момент системы сил.

              Силу, приложенную к твердому телу можно переносить параллельно ей самой в любую точку тела, прибавляя при этом пару с моментом, равным моменту переносимой силы относительно точки, куда переносится сила.

              Пусть на твердое тело в точке А действует сила 
              Ее действие не изменится если в любой точке тела В, приложить две уравновешенные силы 
              Полученная система трех сил и представляет собой силу  равную 
              что и требовалось доказать.

              На рисунке 28, б можно видеть, что мы перенесли силу 
              Выберем в плоскости произвольную точку О, которую назовем центром приведения и перенесем в эту точку все силы (рис. 29, а)
              В результате получим новую систему сил:
              с моментами присоединенных пар:
              Систему сил перенесенную в точку О заменим одной силой  приложенной в той же точке О:
              Сложение пар дает одну пару с моментом:
              Вектор , равный геометрической сумме всех сил называют главным вектором системы. Величину 
              Итак: Всякая плоская система сил, действующая на твердое тело при приведении к произвольно взятому центру О заменяется одной силой , равной главному вектору системы и приложенной в Центре приведения О, и одной парой с моментом 
              Для задания плоской системы сил достаточно задать ее главный вектор  и главный момент 
              Главный момент 
              При приведении произвольно расположенных сил на плоскости к данному центру возникают стандартные случаи, называемые приведением системы к простейшему виду. Рассмотрим эти случаи, имея в виду, что  определено согласно (4.2.3), а 
              Все силы, приложенные к твердому телу, уравновешиваются.


              Все силы приводятся к одной паре сил.


              Все силы приводятся к равнодействующей.


              Заданная система сил так же приводится к равнодействующей.
                Уравнения равновесия для плоской системы координат.

                Плоская система сил может быть приведена к главному вектору R' и главному моменту' Мо, поэтому условия равновесия сил на плоскости имеют вид


                Итак, для равновесия плоской системы произвольно расположенных сил необходимо и достаточно, чтобы алгебраические суммы проекций всех сил на оси координат равнялись нулю и чтобы алгебраическая сумма моментов этих сил относительно любой точки плоскости также равнялась нулю.

                Величину главного вектора можно определить через проекции всех сил системы на координатные оси х и у. Для равновесия необходимо, чтобы главный вектор был равен нулю. При соблюдении этого условия получим


                Кроме того, для равновесия необходимо, чтобы главный момент также был равен нулю, то есть


                В дальнейшем для уравнения равновесия при решении задач будем применять более компактную схему записи, не применяя при букве
                Уравнения равновесия произвольной плоской системы сил могут быть представлены в трёх формах.

                1. Основная форма приведена выше и записывается в виде:


                2. Выбрав три произвольные точки Л, В, Си приравняв нулю сумму моментов относительно каждой из них, можно получить следующие три уравнения равновесия: 
                3. Эта форма представляет собой равенство нулю сумм моментов относительно двух произвольных точек А и В и равенство нулю суммы проекций на некоторую ось х, то есть 
                При пользовании этой формулой необходимо, чтобы ось х не была перпендикулярна линии, соединяющей точки А и В.

                Для системы параллельных сил, выбрав одну из осей проекций параллельной этим силам, а другую - перпендикулярной к ним, получим существенные упрощения.

                Первая форма уравнений равновесия в этом случае примет вид


                Вторая и третья формы уравнений равновесия примут одинаковый вид 


                  Предмет кинематики. Система отсчета. Задачи кинематики

                  Кинематикой называется раздел механики, в котором изучается движение материальных тел в пространстве с геометрической точки зрения, вне связи с силами и массами, определяющим это движение.

                  Система отсчета - это система координат жестко связанная с телом по отношению к которому изучается движение. Отсчет времени ведется с некоторого начального момента (t = 0).

                  Кинематически задать движение или закон движения - это задать положение движущегося тела относительно системы отсчета в любой момент времени.

                  Основная задача кинематики состоит в том, чтобы зная закон движения данного тела определить все кинематические характеристики как самого тела, так и его точек (траекторию, скорости, ускорения и т.д.).

                  Традиционно изучение кинематики начинают с точки.

                    Векторный способ описания движения.

                    Векторный способ задания движения.

                    Пусть задана система отсчета Oxyz (рис. 43).


                    Положение точки М в ней, в любой момент времени можно определить, задав вектор r из точки О в точку М. Такой вектор называется радиус-вектором точки М. С течением времени он изменяется, то есть


                    Это и есть закон движения точки в векторной форме. Годограф этого вектора определяет траекторию движения точки.

                    Определив все три закона движения, можно указать метод перехода от одного способа к другому.

                    Пусть уравнения движения заданы в форме (8.2.2), но

                    Задавая начальные условия: t = 0, S = 0 получаем


                    Это соотношение переводит закон движения из формы (8.2.2) в форму (8.2.1)

                      Координатный способ описания движения.

                      Положение точки по отношению к данной системе отсчета O,x,y,z можно определить с помощью координат x,y,z (рис. 42).


                      При движении точки М вдоль траектории, с течением времени, координаты будут изменяться и чтобы задать закон движения точки, нужно задать зависимости:


                        Естественный способ описания движения.


                        Непрерывная линия, которую описывает движущаяся точка относительно данной системы отсчета, называется траекторией точки. В зависимости от вида траектории движение называют прямолинейным или криволинейным.

                        Пусть рис. 41).


                        Так как точка М движется вдоль траектории, то ее координата S будет изменяться со временем, то есть

                        S = f(t) (8.2.1)

                        Это и есть закон движения точки М вдоль траектории. Таким образом, чтобы задать движение точки естественным способом, надо задать: 1) траекторию точки. 2) начало отсчета на траектории с указанием направления движения (
                        Здесь необходимо заметить, что S определяет положение точки на траектории, а не пройденный путь.

                          Базовые движения твердого тела.

                          Поступательное движение - это такое движение твердого тела, при котором любая прямая соединяющая две точки тела, движется, оставаясь параллельной самой себе.

                          Поступательное движение нельзя смешивать с прямолинейным, так как при поступательном движении траектория может быть какой угодно.

                          Свойства поступательного движения характеризует следующая теорема:

                          Все точки твердого тела, движущегося поступательно, описывают одинаковые траектории и в каждый момент времени имеют одинаковые по модулю и направлению скорости и ускорения.

                          Пусть дано твердое тело совершающее поступательное движение относительно системы отсчета Oxyz (рис. 49).
                          Выберем произвольные точки A и В характеризующиеся радиус-векторами 
                          Проведем вектор , тогда
                          Так как тело движется поступательно, то траекторию точки А получим из траектории точки В параллельным смещением всех точек на отрезок .

                          Продифференцируем уравнение (9.1.1):


                          Взяв производную от (9.1.3), получаем
                          т.е. скорости и ускорения всех точек твердого тела одинаковы.

                          Вращательным называют такое движение твердого тела, при котором две какие-нибудь точки принадлежащие телу, остаются во все время движения неподвижными. Прямая, проходящая через эти точки, называется осью вращения. Все точки лежащие на оси так же неподвижны.

                          Чтобы определить положение вращающегося тела, введем две плоскости, проходящие через ось вращения (рис. 50) А - плоскость неподвижная; В - плоскость связанная с телом и вращающаяся с ним; DE - ось вращения, совпадающая с осью z.
                          Теперь в любой момент времени положение тела будет определяться углом  между плоскостями А и В или углом поворота тела, положительным, если вращение происходит против часовой стрелки, и отрицательным в противном случае. Закон вращательного движения


                          Угол поворота обычно измеряют в радианах.

                          Основными кинематическими характеристиками вращательного движения твердого тела являются его угловая скорость  и угловое ускорение .

                          Если за промежуток времени 

                            Угловая скорость и угловое ускорение.

                            Угловой скоростью тела в данный момент t называется величина, к которой стремится средняя угловая скорость , если 
                            Угловая скорость твердого тела является первой производной от угла поворота по времени.

                            Размерность: [радиан/время]; [1/время]; [1/сек =
                            Угловую скорость можно изображать вектором. Вектор угловой скорости 
                            Если угловая скорость не является постоянной величиной, то вводят еще одну характеристику вращения - угловое ускорение.

                            Угловое ускорение характеризует изменение угловой скорости тела с течением времени.

                            Если за промежуток времени 
                            Угловым ускорением твердого тела в данный момент времени t называется величина к которой стремится  при 

                            Как вектор, угловое ускорение  направлен так же, как и рис. 51)
                            Если направление 
                            Если = const, то вращение будет равномерным.

                            Найдем его закон. Так как 
                            Это и есть закон равномерного вращения.

                            В технике вращение характеризуют оборотами в минуту n [об/мин]. Угловая скорость  и обороты в минуту n связаны следующим соотношением:
                            Если угловое ускорение тела все время остается постоянным, то вращение называют равнопеременным (= const).

                            Найдем закон вращения, если в начальный момент t = 0, = 0 и 

                            Подставляем вместо  правую часть (9.2.3), разделяем переменные и, вновь интегрируя, имеем
                            Это закон равнопеременного вращения.

                              Скорость точки твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.

                              При вращении твердого тела вокруг неподвижной оси каждая точка тела движется по окружности. Радиус окружности R равен расстоянию от точки до оси вращения.


                              Рисунок 2.4

                              Закон движения точки может быть задан естественным способом (рисунок 2.4): траектория – окружность; начало отсчета точка O1

                              Скорость точки определяется выражением

                              V=dS/dt=dφ∙R/dt=ωR    (2.9)

                              где ω — угловая скорость вращения твердого тела.

                              Скорость направлена по касательной к траектории, поэтому можно написать


                              Вектор скорости можно получить векторным произведением:

                              V=ω × r,
                              V=
                              ω × r × sinα=ω×R.

                                Ускорение точки твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.

                                Ускорение точки при естественном способе задания движения определяется как сумма касательного и нормального ускорений (см. вывод формулы (1.10)):

                                Рисунок 2.5

                                Эти же выражения можно получить, взяв производную от векторного произведения V=ω × r.

                                Угол, который составляет полное ускорение с радиусом, может быть определен из соотношения (рисунок 2.5)


                                То есть эти углы для всех точек тела одинаковы и не зависят от их расположения на теле. На этом же рисунке представлены законы распределения скоростей и ускорений точек во вращающемся теле в зависимости от расстояния их до оси вращения. Эти законы распределения соответствуют формулам:


                                  Кинематические передачи.

                                  Передаточный механизм передает движение от одного тела к другому. Параметры движения тел определяются с учетом параметров точек соприкосновения (зацепления) этих тел.

                                  На рисунке 2.6 (а, б, в, г) приведены различные схемы передачи движения от одного тела к другому.

                                  На рисунках 2.6,а и 2.6,б зависимости угловых скоростей колес определяются из соотношения

                                  VC = ω
                                  1∙ r1
                                   = ω2∙ r2
                                  т.е.

                                  ω1 /ω2 = r2 /r1
                                  На рисунке 2.6,а (внешнее зацепление) колёса вращаются в противоположные стороны, на рисунке 2.6,б (внутреннее зацепление) колеса вращаются в одну сторону.

                                  На рисунке 2.6,в показана цепная (ременная) передача. Скорости точек A и B цепи должны быть равны соответственно скоростям точек AB, принадлежащих шкивам:

                                  VA = ω1∙ r1 = VB = ω2∙ r2,
                                  ω1 /ω2 = r2 /r1

                                  Рисунок 2.6

                                  На рисунке 2.6,г поступательное движение стержня обеспечивает вращение колеса:

                                  VA = VC = ω∙ r,

                                  ω = VA /r


                                  Рисунок 2.7

                                  На рисунке 2.7 изображена фрикционная передача: колесо 1, прижимаясь к торцу колеса 2 в точке C, обеспечивает его вращение вокруг вертикальной оси.

                                  VC = ω1∙ r1 = 2∙ d,

                                  ω1 /ω2 = d/r1
                                    Плоскопараллельное (плоское) движение твердого тела.


                                    Рассмотрим сечение S тела какой-нибудь плоскостью Оху параллельной Р (рис. 54, а)


                                    Все точки тела на прямой ММ', которая перпендикулярна сечению S, движутся тождественно. Поэтому, для изучения движения всего тела достаточно изучить как движется сечение S тела в плоскости Оxу.

                                    Положение сечения S в плоскости определяется положением какого-либо отрезка АВ (рис. 54,б). В свою очередь положение отрезка можно задать, зная 
                                    Точка А называется полюсом.

                                    При движении координаты полюса 

                                    Это уравнение плоского движения твердого тела.

                                    Покажем, что это движение складывается из поступательного и вращательного. Для этого рассмотрим два последовательных положения тела I и II, которые занимает сечение S в моменты рис. 55).


                                    Переместим тело сначала поступательно, так чтобы полюс двигаясь вдоль траектории перешел из точки  в . Прямая 
                                    Итак: плоское движение твердого тела слагается из поступательного движения, при котором все точки движутся так же, как полюс, и из вращательного движения вокруг этого полюса.

                                    Основные кинематические характеристики плоского движения - это скорость и ускорение. Скорость v и ускорение w поступательного движения равны 
                                    В качестве полюса можно выбрать любую точку тела (например С) тогда две кинематические характеристики изменятся, так как 

                                      Определение скорости точки плоско движущегося тела.

                                      Было отмечено, что движение плоской фигуры можно рассматривать как слагающееся из поступательного движения, при котором все точки фигуры движутся со скоростью А, и из вращательного движения вокруг этого полюса. Покажем, что скорость любой точки М фигуры складывается геометрически  из скоростей, которые точка получает в каждом из этих движений.

                                      В самом деле, положение любой точки М фигуры определяется по отношению к осям Оху радиусом-вектором А, М  относительно осей А поступательно (движение фигуры по отноше­нию к этим осям представляет собой вращение вокруг полюса А). Тогда


                                      В полученном равенстве величина А; величина же М получает при А. Таким образом, из предыдущего равенства действительно следует, что


                                      Скорость М получает при вращении фигуры вокруг полюса А:


                                      где ω - угловая скорость фигуры.

                                      Таким образом, скорость любой точки М плоской фигуры геометрически складывается из скорости какой-нибудь другой точки А, принятой за полюс, и скорости, которую точка М получает при вращении фигуры вокруг этого полюса. Модуль и направление скорости 

                                      Рис.3                                                               Рис.4

                                        Определение ускорения любой точки плоской фигуры.

                                        Покажем, что ускорение любой точки М плоской фигуры (так же, как и скорость) складывается из ускорений, которые точка получает при поступательном и вращательном движениях этой фигуры. Положение точки М по отношению к осям Оxy (см.рис.30) определяется радиусом-вектором 

                                        В правой части этого равенства первое слагаемое есть ускорение А, а второе слагаемое определяет ускорение A. следовательно,


                                        Значение 

                                        где МА (рис.14).

                                        Таким образом, ускорение любой точки М плоской фигуры геометрически складывается из ускорения  какой-нибудь другой точки А, принятой за полюс, и ускорения, которое точка М получает при вращении фигуры вокруг этого полюса. Модуль и направление ускорения 
                                        Однако вычисление 
                                        .

                                        При этом вектор АМ в сторону вращения, если оно ускоренное, и против вращения, если оно замедленное; вектор М к полюсу А (рис.15). Численно же


                                        Если полюс А движется не прямолинейно, то его ускорение мо­жно тоже представить как сумму касательной 
                                        .

                                         


                                        Рис.14                                                             Рис.15

                                         

                                        Наконец, когда точка М движется криволинейно и ее траекто­рия известна, то 
                                          Мгновенный центр скоростей. Методы нахождения МЦС.

                                          Другой простой и наглядный метод определения скоростей точек плоской фигуры (или тела при плоском движении) основан на поня­тии о мгновенном центре скоростей.

                                          Мгновенным центром скоростей называется точка плоской фигу­ры, скорость которой в данный момент времени равна нулю.

                                          Легко   убедиться, что если фигура движется непоступательно, то такая точка в каждый момент времениt существует и притом единственная. Пусть в момент времени t точки А и В плоской фигуры имеют скорости  Р, лежащая на пересечении перпендикуляров Аа к вектору Вb к вектору  так как АР (так как ВР (так как 

                                          Рис.6

                                           

                                          Если теперь в момент времени  взять точку Р за полюс, то скорость точки А будет


                                          так как 


                                          Из равенств, следует еще, что 

                                            Определение скоростей точек тела с помощью МЦС.

                                            1. Для определения мгновенного центра скоростей надо знать то­лько направления скоростей А и В плоской фигуры (или траектории этих точек); мгновенный центр скоростей находится в точке пересечения перпендикуляров, вос­ставленных из точек А и В к скоростям этих точек (или к каса­тельным к траекториям).

                                            2. Для определения скорости любой точки плоской фигуры, надо знать модуль и направление скорости какой-нибудь одной точки А фигуры и направление скорости другой ее точки В. Тогда, вос­ставив из точек А и В перпендикуляры к  Р и по направлению М плоской фигуры. Направлен век­тор  РМ в сторону поворота фигуры.

                                            3. Угловая скорость Р:


                                            Рассмотрим некоторые частные случаи определения мгновенного центра скоростей.

                                            а) Если плоскопараллельное движение осуществляется путем качения без скольжения одного цилиндрического тела по поверх­ности другого неподвижного, то точка Р катящегося тела, касаю­щаяся неподвижной поверхности (рис.7), имеет в данный момент времени вследствие отсутствия скольжения скорость, равную нулю (
                                            б) Если скорости точек А и В плоской фигуры параллельны друг другу, причем линия АВ не перпендикулярна 

                                            Рис.7  

                                               
                                            Рис.8

                                            в) Если скорости точек А и В плоской фигуры параллельны друг другу и при этом линия АВ перпендикулярна Р определяется построением, показанным на рис.8,б. Справедливость построений следует из пропорции. В этом случае, в отличие от предыдущих, для нахождения центра Р  надо кроме направлений знать еще и модули скоростей 
                                            г) Если известны вектор скорости В фигуры и ее угловая скоростьР, лежащего на перпендикуляре к 


                                            перейти в каталог файлов


связь с админом