Главная страница
qrcode

Василий терешков кратчайшее введение


Скачать 206.21 Kb.
НазваниеВасилий терешков кратчайшее введение
АнкорRelativity.pdf
Дата02.04.2018
Размер206.21 Kb.
Формат файлаpdf
Имя файлаRelativity.pdf
оригинальный pdf просмотр
ТипДокументы
#24
страница1 из 3
Каталог
  1   2   3

ВАСИЛИЙ ТЕРЕШКОВ
КРАТЧАЙШЕЕ ВВЕДЕНИЕ
В
ТЕОРИЮ
ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
ВТОРАЯ РЕДАКЦИЯ
2014

Предисловие
Предлагаемое читателю «Введение» представляет собой набросок кратких лекций по основам специальной и общей теории относительности. Автор, будучи по профессии инженером, а не физиком, намеревался преподнести эти основы в виде, доступном студенту младших курсов технических институтов. Учебная программа этих институтов обычно предусматривает чрезвычайно сжатое изложение специальной теории относительности и вообще не касается её четырёхмерной трактовки. Из-за этого оказывается невозможным и полноценное раскрытие сути общей теории относительности. Данное «Введение» призвано в некоторой мере заполнить этот пробел в физическом образовании инженеров.
Теория относительности использует весьма своеобразный и сложный математический аппарат – тензорное исчисление и дифференциальную геометрию, также не входящие в учебные программы большинства технических институтов. Поэтому автор вынужден был уделить некоторое внимание объяснению этих разделов математики. Тем не менее, основной целью автора было наиболее наглядное толкование смысла всех уравнений теории относительности, подчас в ущерб математической строгости. По этой причине автор, в частности, отказался от традиционного – аксиоматического – изложения специальной теории относительности. Ради краткости он полностью исключил раздел об электродинамике, который, несмотря на свою важность, оставался в стороне от основной линии повествования.
Автор будет благодарен за конструктивную критику текста, любые указания на ошибки, неточности и опечатки. Все замечания просьба направлять по адресу vtereshkov@mail.ru или vk.com/vtereshkov.

Часть 1. Специальная теория относительности
Отныне пространство само по себе и время само по себе обречены превратиться лишь в тени, и только некоторое объединение их сохранит независимую реальность.
Г. Минковский
1.1. Опыт Майкельсона-Морли.
Рассмотрим распространение волн в подвижной среде.
Вообразим, что мы кричим на ветру и дожидаемся эха, отразившегося от далёкого препятствия – например, от горы. Обозначим расстояние до препятствия через
݈, скорость ветра через ݒ, а скорость звука относительно воздуха через
ܿ. Можно выделить два различных случая. Если мы кричим против ветра, то на пути к препятствию эти скорости вычитаются, а на обратном пути суммируются. Тогда время до прихода эха есть
ݐ

=
݈
ܿ − ݒ
+
݈
ܿ + ݒ
=
2
݈ܿ
ܿ


ݒ

Если же мы кричим поперёк ветра, то время распространения звука и в ту, и в другую сторону окажется одинаковым. Однако из-за сноса ветром нас достигнет не та звуковая волна, скорость которой перпендикулярна ветру, а другая, для которой скорость направлена наискосок, так что полезная составляющая этой скорости окажется меньше
ܿ и будет равна √ܿ


ݒ

. Тогда время до прихода эха будет
ݐ

=
2
݈
√ܿ


ݒ

Отношение времён в двух описанных случаях не зависит от расстояния
݈ и равно
ݐ

ݐ

=
ܿ
√ܿ


ݒ

=
1
ඥ1 − ݒ

ܿ


=
ߛ ≥ 1
Майкельсон и Морли провели аналогичный эксперимент со световыми волнами вместо звуковых и пришли к парадоксальному результату:
ݐ

=
ݐ

, то есть скорость света не зависит от движения той гипотетической среды, в которой свет распространяется. Этот вывод, противоречащий всем привычным представлениям о кинематике и сложении скоростей, потребовал создания новой теории пространства и времени.
1.2. Сокращение длин.
Чтобы как-то объяснить результат эксперимента Майкельсона-
Морли, Фитцджеральд предположил, что в действительности расстояние
݈, проходимое светом в двух рассмотренных случаях, различно: в направлении скорости
ݒ все длины сокращаются ровно в
ߛ раз и поэтому оказывается ݈

=
݈

ߛ
⁄ . Такое сокращение длин полностью компенсирует уменьшение скорости, и время распространения света оказывается одинаковым.
1.3. Пространство Минковского.
Механизм возникновения сокращения Фитцджеральда, обусловленного лишь фактом движения, оставался загадкой. Более того, сам термин
«сокращение» здесь способен ввести в заблуждение. Действительно, если вообразить два параллельных стержня
ܣ и ܤ, движущиеся один вдоль другого, то сокращение стержня ܣ с точки зрения стержня
ܤ должно выглядеть как растяжение стержня ܤ с точки зрения стержня ܣ. Однако в действительности никакого растяжения не наблюдается: стержень
ܤ также воспринимается сжатым.
Единственный наглядный образ, объясняющий такое взаимное сокращение стержней, следующий: стержни не сокращаются, а отворачиваются друг от друга на некоторый угол
ߠ, так что каждый из стержней при взгляде с другого стержня видится короче своей собственной длины в
ߛ раз. Однако с какого бы ракурса мы ни посмотрели, мы не найдём того пространственного направления, в которое совершился этот поворот. Обладая некоторой смелостью, можно предположить, что стержни отворачиваются друг от друга из пространственного во временное измерение. Так мы приходим к выводу, что привычное трёхмерное пространство нужно дополнить четвёртой – временной – осью, и все четыре направления нужно рассматривать в их взаимозависимости.
Тем не менее, своими органами чувств мы воспринимаем временное измерение совершенно иначе, чем пространственные. Это различие должно найти отражение и в нашем математическом описании четырёхмерного пространства-времени, а именно: с пространственными направлениями
связываются действительные координаты
ݔ, ݕ, ݖ, а с временным – мнимая координата ݅ܿݐ
(множитель
ܿ, имеющий размерность скорости, здесь служит лишь для того, чтобы мы могли измерять временные промежутки в тех же единицах длины, что и пространственные). Такое четырёхмерное пространство называют пространством Минковского.
Любой точкой пространства Минковского является событие – нечто, происходящее в определённом месте и в определённый момент времени. Однако разным наблюдателям, движущимся с разными скоростями, соответствуют в этом пространстве разные системы отсчёта, отличающиеся углом пространственно-временного поворота
ߠ. Следовательно, даже если наблюдатели будут говорить об одних и тех же событиях, они не будут согласны в том, каким расстоянием и каким промежутком времени эти события разделены. Следовательно, пространство и время относительны – они зависят от движения наблюдателя. Тем не менее, если мир рассматривать как конфигурацию событий, то такая конфигурация будет абсолютной, а разные наблюдатели будут лишь по-разному рассекать её на пространственную и временную составляющие.
Является ли четырёхмерное пространство-время специфической чертой теории относительности? На первый взгляд, ничто не мешает ввести временное измерение ещё в классической механике. Но там это был бы совершенно искусственный приём, не приносящий никаких плодов. Например, там был бы невозможен пространственно-временной поворот системы отсчёта – результат такой операции оказался бы абсурдом. Однако в теории относительности, как мы уже убедились, такой поворот является естественным и даже необходимым: он описывает переход от одного наблюдателя к другому, движущемуся относительно первого со скоростью
ݒ.
1.4. Преобразования Лоренца.
Рассмотрим пространственно-временной поворот системы отсчёта в пространстве Минковского (рис. 1).
Рис. 1
Преобразования координат при таком повороте называются преобразованиями Лоренца. Они описываются обычными формулами поворота с тем исключением, что одна из координат оказывается мнимой:
ݔ

=
ݔ cos ߠ − ݅ܿݐ sin ߠ
݅ܿݐ

=
ݔ sin ߠ + ݅ܿݐ cos ߠ
ߠ
݅ܿݐ′
݅ܿݐ
ݔ
ݔ′
ݒ
݅ܿ

Угол
ߠ можно найти из треугольника скоростей, считая, что штрихованная система отсчёта движется со скоростью
ݒ сквозь пространство и с мнимой скоростью ݅ܿ сквозь время: sin
ߠ =
ݒ
√ݒ


ܿ

= −
݅ߛݒ
ܿ
,
cos ߠ =
݅ܿ
√ݒ


ܿ

=
ߛ
Подставляя эти выражения в преобразования Лоренца, получим
ݔ

=
ߛ(ݔ − ݒݐ)
ݐ

=
ߛ(ݐ − ݒݔ ܿ

⁄ )
Теперь мы можем убедиться, что сокращение Фитцджеральда автоматически получается как следствие преобразований Лоренца. Пусть в подвижной системе отсчёта покоится стержень собственной длины ∆
ݔ

=
݈

. В неподвижной системе отсчёта отрезок ∆
ݔ

приобретёт не только пространственную протяжённость ∆
ݔ, но и временную протяжённость ∆ݐ, согласно выражению

ݔ

=
ߛ(∆ݔ − ݒ∆ݐ). Если мы пожелаем измерить длину этого отрезка в неподвижной системе отсчёта, мы должны будем измерить координаты его концов одновременно по часам неподвижной системы, и тогда ∆
ݐ = 0, ݈

=
ߛ݈. Таким образом, измеренная нами длина ݈ оказалась в ߛ раз меньше собственной длины
݈

1.5. Замедление времени.
Аналогично преобразованию длин можно определить и преобразование временных промежутков. Пусть в одной и той же точке подвижной системы отсчёта отмечены два события, разделённые промежутком собственного времени ∆
߬, то есть

ݔ

= 0, ∆
ݐ′ = ∆߬. Тогда обратное преобразование Лоренца даст ∆ݐ = ߛሺ∆ݐ

+
ݒ∆ݔ

ܿ

⁄ ሻ = ߛ∆߬. За одну секунду по часам подвижной системы отсчёта в неподвижной системе пройдёт
ߛ секунд.
Часы в подвижной системе отсчёта идут медленнее.
1.6. Интервал.
Хотя при любом повороте системы отсчёта координаты всех точек изменяются, существует хорошо известная величина, остающаяся неизменной, – расстояние между точками. В пространстве Минковского её обычно называют пространственно-временным интервалом ∆
ݏ. По теореме Пифагора, с учётом мнимой временной координаты, получим

ݏ

= −
ܿ


ݐ

+ ∆
ݔ

+ ∆
ݕ

+ ∆
ݖ

Для заданной пары событий этот интервал одинаков с точки зрения всех наблюдателей, независимо от их движения. Он характеризует не какой-то определённый взгляд на мир, а мир как таковой, а именно, задаёт метрику этого мира – способ определения расстояний в нём.
Примечательно, что в отличие от пространственного расстояния, квадрат пространственно- временного интервала может быть и положительным, и нулевым, и отрицательным. Например, для любого наблюдателя все события, происходящие с ним, разделены интервалами ∆
ݏ

< 0, поскольку скорость его движения сквозь пространство
ݒ по модулю всегда меньше скорости движения сквозь время
݅ܿ. Такой интервал называется временеподобным. Для света эти скорости равны, и поэтому ∆
ݏ

= 0. Можно вообразить события, происходящие столь далеко друг от друга, что пространственная составляющая интервала превосходит временную, так что ∆
ݏ

> 0, и интервал оказывается пространственноподобным. Разумеется, эти события не могут быть частью истории какого-то наблюдателя, поскольку для этого ему необходимо было бы двигаться со сверхсветовой скоростью. Соответственно, эти события не могут быть связаны никакой причинно- следственной связью.
Все события, составляющие историю какого-либо наблюдателя, происходят, с его точки зрения, в одном и том же месте – именно там, где наблюдатель в данный момент находится.
Соответственно, эти события не разделены для него никаким пространственным промежутком, а интервал между ними образуется только временем, измеренным по его собственным часам:

ݏ

= −
ܿ


߬

. Это подсказывает способ физического измерения любых временеподобных интервалов между событиями: нужно отыскать наблюдателя, для которого эти события являются частью его истории, и узнать, каким промежутком его собственного времени они разделены. Более того, поскольку −
ܿ

является лишь коэффициентом пропорциональности, то иногда утверждается, что интервал и собственное время – одно и то же.
Понятие интервала иногда позволяет избавиться от неудобств, связанных с мнимой временной координатой. Поскольку сами координаты являются условными метками событий, а объективной сущностью обладает лишь сам интервал, то ничто не мешает вместо мнимой координаты
݅ܿݐ ввести действительную координату ܿݐ. Однако при этом необходимо помнить, что расстояния в пространстве Минковского измеряются не так, как в обычном пространстве Евклида, а со знаком минус перед квадратом временной координаты.

1.7. Энергия и импульс тела.
Введём вектор четырёхмерной скорости тела как скорости изменения его пространственно-временных координат с течением собственного времени:
ݑ = ൬
݀(݅ܿݐ)
݀߬
,
݀ݔ
݀߬
,
݀ݕ
݀߬
,
݀ݖ
݀߬൰
С учётом соотношения между собственным и координатным временем
݀ݐ = ߛ݀߬, можем записать четырёхмерную скорость в виде
ݑ = ൫݅ߛܿ, ߛݒ

,
ߛݒ

,
ߛݒ


Умножив эту скорость на массу тела
݉

, измеренную наблюдателем, движущимся вместе с телом, мы получим вектор четырёхмерного импульса
݌ = ݉

ݑ = ൫݅ߛ݉

ܿ, ߛ݉

ݒ

,
ߛ݉

ݒ

,
ߛ݉

ݒ

൯ = ൫݅݉ܿ, ݉ݒ

,
݉ݒ

,
݉ݒ

൯ = ሺ݅݉ܿ, ܲሻ
Пространственные компоненты
ܲ этого импульса совершенно аналогичны классическому импульсу с тем исключением, что масса
݉

заменена на большую величину
݉ = ߛ݉

. Этот факт иногда трактуется как возрастание массы со скоростью. Математически он явился для нас следствием принятого определения четырёхмерной скорости, где в знаменателе находится приращение собственного, а не координатного времени; лишь при таком определении для четырёхмерного импульса будет выполняться закон сохранения. Физическим следствием этого факта оказывается то, что никакое тело с ненулевой массой
݉

не может достичь скорости света, ибо тогда его масса
݉ обратилась бы в бесконечность.
Временная компонента импульса не имеет никакого классического аналога, однако её появление в нашей теории не должно нас удивлять, коль скоро мы взялись изучать движение во времени подобно движению в пространстве.
Рассмотрим модуль вектора четырёхмерного импульса. Как и интервал, он не должен изменяться при пространственно-временном повороте системы отсчёта, то есть при преобразованиях Лоренца. В частности, он остаётся тем же и при переходе к системе отсчёта, где тело покоится и не имеет никакого пространственного импульса. Тогда, сравнивая две системы отсчёта, можем написать

ሺ݉ܿሻ

+
ܲ

= −
ሺ݉

ܿሻ

Для упрощения этого выражения введём величину
ܧ = ݉ܿ

, имеющую размерность энергии, и попытаемся установить её физический смысл. Для этого, вспомнив определения массы
݉ и сокращения Фитцджеральда ߛ, разложим величину ܧ в ряд по степеням отношения ݒ/ܿ:
ܧ =
݉

ܿ

ඥ1 − ݒ

ܿ


=
݉

ܿ

ቆ1 +
1 2
ݒ

ܿ

+ ⋯
ቇ = ݉

ܿ

+
݉

ݒ

2
+ ⋯ =
ܧ

+
ܶ + ⋯
Второе слагаемое
ܶ представляет собой обычную кинетическую энергию, а первое слагаемое ܧ

оказывается энергией покоя, то есть энергией, которой тело обладает в силу факта своего существования. С очень большой долей условности можно считать её кинетической энергией движения сквозь время.
С помощью введённой величины мы можем теперь переписать условие неизменности модуля четырёхмерного импульса в виде

ܧ

ܿ

+
ܲ

= −
ܧ


ܿ

Таким образом, то, что для наблюдателя, движущегося вместе с телом, выглядит как энергия, для стороннего наблюдателя окажется смесью энергии и импульса.
1.8. Энергия и импульс сплошной среды.
Сплошная среда (жидкость, газ, пыль) примечательна тем, что различные её части движутся по-разному относительно её центра масс.
Такую среду можно охарактеризовать плотностью массы покоя
ߩ

, измеренной наблюдателем, движущимся вместе с элементарным объёмом этой среды, или, что то же самое, плотностью энергии покоя
ߩ

ܿ

. Однако для наблюдателя, связанного с центром масс среды, картина окажется намного более сложной. Действительно, каждый из двух множителей
ܿ в приведённой формуле можно истолковать как скорость движения элемента среды сквозь время. Но для стороннего наблюдателя, в силу преобразований Лоренца, эта скорость окажется смесью временной и пространственных скоростей
ߛܿ, ߛݒ

,
ߛݒ

,
ߛݒ

. Тогда вместо плотности массы покоя
ߩ

он увидит плотность
ߩ = ߛ

ߩ

, а вместо плотности энергии покоя
ߩ

ܿ

– некую комбинацию из 16 величин, которые можно построить из плотности
ߩ и всех имеющихся сочетаний скоростей:

ܶ
ఈఉ
=
ߩ

ݑ

ݑ

=
ۉ
ۈ
ۇ
ߩܿ

ߩݒ

ܿ
ߩݒ

ܿ
ߩݒ

ܿ
ߩݒ

ܿ
ߩݒ


ߩݒ

ݒ

ߩݒ

ݒ

ߩݒ

ܿ ߩݒ

ݒ

ߩݒ


ߩݒ

ݒ

ߩݒ

ܿ ߩݒ

ݒ

ߩݒ

ݒ

ߩݒ


ی
ۋ
ۊ
;
ߙ, ߚ = 0, 1, 2, 3
Полученный объект есть тензор. Сущность тензора можно объяснить по аналогии с вектором. Вектор – это некий физический объект, которому в каждой выбранной системе отсчёта сопоставляется столбец его компонент, нумеруемых одним индексом. Точно так же, тензор – это некий физический объект, которому в каждой выбранной системе отсчёта сопоставляется матрица его компонент, нумеруемых двумя индексами. При этом следует помнить, что сам тензор не есть матрица, равно как и столбец компонент вектора не есть сам вектор. Действительно, достаточно сменить систему координат, и компоненты этих объектов изменятся, однако их физическая сущность окажется при этом незатронутой. Очевидно, требование неизменности физической сущности векторов и тензоров при замене координат подразумевает, что их компоненты при такой замене преобразуются не совершенно произвольным образом, а по вполне определённому – линейному – закону. В противном случае мы получили бы просто набор разрозненных чисел, за которым не скрывалось бы никакого объекта, существующего вне нашего сознания.
  1   2   3

перейти в каталог файлов


связь с админом