Главная страница
qrcode

Василий терешков кратчайшее введение


Скачать 206.21 Kb.
НазваниеВасилий терешков кратчайшее введение
АнкорRelativity.pdf
Дата02.04.2018
Размер206.21 Kb.
Формат файлаpdf
Имя файлаRelativity.pdf
оригинальный pdf просмотр
ТипДокументы
#24
страница3 из 3
Каталог
1   2   3
Возникает немалый соблазн напрямую отождествить тензор гравитационного поля
ܩ
ఈఉ
с тензором Риччи
ܴ
ఈఉ
. Но на этом пути есть одно препятствие. О материи, являющейся источником тяготения, нам из физических соображений известно, что она подчиняется некоторым законам сохранения. Все они выражаются единообразно уравнением
ܶ
;

ఈఉ
= 0 то есть сумма ковариантных производных всех элементов любой строки тензора энергии- импульса материи по соответствующим координатам равна нулю. Чтобы это суждение приобрело наглядное содержание, можно ввести свободно падающую систему отсчёта, в которой имеет место простейшая метрика Минковского, и рассмотреть в ней, например, первую строку тензора энергии-импульса (
ߙ = 0). Ковариантная производная превратится в обычную, и мы получим
߲ߩ
߲ݐ
+
߲ሺߩݒ


߲ݔ
+
߲൫ߩݒ


߲ݕ
+
߲ሺߩݒ


߲ݖ
= 0
Это известное в классической механике уравнение непрерывности сплошной среды. Его можно читать следующим образом: изменение массы вещества
ߩܸ݀ в малом объёме ܸ݀ вызывается потоками этого вещества
ߩݒ

݀ܵ

,
ߩݒ

݀ܵ

,
ߩݒ

݀ܵ

сквозь стенки
݀ܵ

,
݀ܵ

,
݀ܵ

этого объёма; вещество не может зародиться или исчезнуть в самом объёме. Совершенно аналогично три оставшиеся строки тензора энергии-импульса приведут к уравнениям Навье-Стокса – обобщению второго закона Ньютона для сплошной среды.
ܣ

ܲ

ܲ

ܲ

߂ܣ


Примечательно, что и уравнение непрерывности, и уравнения Навье-Стокса содержат время и потому, с точки зрения классической механики, являются динамическими и сами по себе не представляют никаких законов сохранения. Однако в теории относительности время рассматривается как полноценная координата, поэтому все динамические уравнения превращаются в законы пространственно-временного сохранения.
Итак, мы выяснили, что тензор энергии-импульса материи
ܶ
ఈఉ
в правой части уравнений тяготения обладает свойством сохранения. Следовательно, тем же свойством обязан обладать и тензор гравитационного поля
ܩ
ఈఉ
в левой части уравнений, притом это свойство должно быть присуще ему не как дополнительное физическое условие, налагаемое извне, а как чисто геометрический факт, выполняющийся тождественно. Только в этом случае законы сохранения материи смогут стать не постулатами, а естественными логическими следствиями теории тяготения. К сожалению, тензор Риччи
ܴ
ఈఉ
сам по себе требуемым свойством не обладает и поэтому не подходит на роль тензора гравитационного поля.
2.10. Уравнения тяготения.
Из тензора Риччи всё же можно получить тензоры, обладающие свойством сохранения. Наиболее простой из них имеет вид
ܩ
ఈఉ
=
ܴ
ఈఉ

1 2
ܴ݃
ఈఉ
и называется тензором Эйнштейна. Именно он и войдёт в левую часть уравнения тяготения:
ܴ
ఈఉ

1 2
ܴ݃
ఈఉ
=
ߢܶ
ఈఉ
Смысл полученного уравнения таков: материя во всех её проявлениях вызывает тяготение, представляющее собой искривление пространства-времени. Это суждение, однако, совершенно лишено физического содержания, пока не будет указано, как искривление пространства-времени влияет на движение тел.
2.11. Движение в поле тяготения.
В классической механике влияние тяготения на движение тел описывалось при помощи гравитационной силы, входящей, с одной стороны, в закон всемирного тяготения, а с другой стороны, во второй закон Ньютона. Но в теории относительности нет понятия гравитационной силы. Всякое движение тела – и в пустом пространстве, и в поле тяготения – представляет собой свободное движение по инерции.
В пустом пространстве-времени такое движение, как и в теории Ньютона, является прямолинейным и равномерным – с нулевым ускорением, измеренным в прямоугольной инерциальной системе отсчёта:
݀

ݔ

݀߬

= 0
В искривлённом пространстве-времени понятие прямой теряет свой буквальный смысл.
Вместо прямых можно говорить лишь о наипрямейших из возможных геодезических линиях. Они аналогичны прямым в том смысле, что являются кратчайшими путями между событиями при заданной метрике. Так, например, геодезическими на поверхности Земли будут дуги больших кругов: две точки на поверхности невозможно соединить более короткой линией, целиком лежащей на этой же поверхности.
Движение по инерции в искривлённом пространстве-времени происходит по геодезическим.
Получим уравнение геодезической. Для этого рассмотрим параллельный перенос вектора
ܣ

=
݀ݔ

вдоль самого себя. По определению символов Кристоффеля получим
ߜ(݀ݔ

) = −
߁
ఈఉ

݀ݔ

݀ݔ

или, разделив на
݀߬

,
݀

ݔ

݀߬

= −
߁
ఈఉ

݀ݔ

݀߬
݀ݔ

݀߬
Выражение, оказавшееся вместо нуля в правой части уравнения геодезической, обусловлено кривизной пространства-времени. Оно заменяет собой напряжённость гравитационного поля
݃ в классической механике. Примечательно, что в уравнении полностью отсутствует масса движущегося тела: чисто геометрический характер теории позволил автоматически учесть принцип эквивалентности и показать, что движение тел в гравитационном поле не зависит от их массы.
Уравнение геодезической подразумевает и пространственную, и временную кривизну траектории тела. В частности, орбиты планет обладают вполне наглядной пространственной
кривизной, а траектория вертикально брошенного камня – лишь временной: график зависимости высоты от времени оказывается параболой.
Таким образом, гравитационная сила в теории относительности становится не более чем фикцией – точно так же, как в классической механике были фиктивными силы инерции. Наш разум не обладает способностью непосредственного восприятия искривлённого мира и потому нуждается в некоем «сверхъестественном агенте», который объяснил бы наблюдаемые отклонения траекторий тел в поле тяготения от прямых линий. Таким «агентом» и оказывается гравитационная сила.
2.12. Теория Ньютона как предельный случай.
Теперь мы имеем замкнутую теорию, содержащую как уравнение поля тяготения, так и уравнение движения тел в этом поле. Однако чтобы теория соответствовала реальности, необходимо ещё потребовать, чтобы в первом приближении она могла описать те же явления, которые предсказывает классическая механика.
Предельный переход к классической теории делается при двух допущениях:
1) Скорости всех тел малы по сравнению со скоростью света:
ݒ/ܿ ≪ 1.
2) Поля тяготения слабы, то есть гравитационная энергия по абсолютной величине мала по сравнению с энергией покоя:
ܩܯ/ݎܿ

≪ 1.
При таких допущениях в тензоре энергии-импульса материи остаётся всего один ненулевой элемент
ܶ
଴଴
=
ߩܿ

, что соответствует предположению классической теории о том, что лишь масса, но не её движение порождает тяготение. Теперь, решив сильно упростившиеся уравнения, для пространственных координат
ݔ

можно получить
݀

ݔ

݀߬

=
ܿ

2
߲݃
଴଴
߲ݔ

Сравнив с уравнением классической механики
݀

ݔ

݀߬

= −
߲ߔ
߲ݔ

можно заметить, что величина −
ܿ

(
݃
଴଴
+ 1)/2, имевшая для нас доселе метрический смысл, отождествляется с классическим гравитационным потенциалом
ߔ. Далее, пользуясь этим тождеством, из уравнений теории относительности можно вывести и классическое уравнение для самого потенциала. Оно полностью совпадёт с ньютоновым, если принять
ߢ =
8
ߨܩ
ܿ

Итак, требование согласия с теорией Ньютона приводит к окончательному виду уравнений тяготения
ܴ
ఈఉ

1 2
ܴ݃
ఈఉ
=
8
ߨܩ
ܿ

ܶ
ఈఉ
2.13. Решение уравнений тяготения.
Уравнения тяготения являются нелинейными дифференциальными уравнениями в частных производных второго порядка относительно десяти независимых компонент метрического тензора
݃
ఈఉ
. Для их решения необходимо задать распределение тяготеющей материи в виде тензора энергии-импульса
ܶ
ఈఉ
, а также граничные условия. Нелинейный характер уравнений приводит к тому, что для них не выполняется принцип суперпозиции и не существует универсальных методов аналитического решения. Однако в редких случаях всё же удаётся найти точное решение.
Простейшим практически значимым случаем поля тяготения является поле, порождаемое неподвижной точечной массой
ܯ. В классической механике такое поле описывается непосредственно законом всемирного тяготения. В теории относительности описание такого поля получается как частное решение общих уравнений тяготения – решение Шварцшильда. Оно, как и в классическом случае, оказывается статическим и сферически симметричным, поэтому для записи интервала
݀ݏ удобно пользоваться не прямоугольными, а сферическими координатами ܿݐ,
ݎ, ߠ, ߮. В пустом пространстве
݀ݏ

= −
ܿ

݀߬

= −
ܿ

݀ݐ

+
݀ݎ

+
ݎ

݀ߠ

+
ݎ

sin

ߠ ݀߮

В присутствии массы
ܯ интервал, согласно Шварцшильду, приобретает вид
݀ݏ

= −
ܿ

݀߬

= −
ሺ1 − 2ܩܯ/ݎܿ

ሻܿ

݀ݐ

+
݀ݎ

ሺ1 − 2ܩܯ/ݎܿ


+
ݎ

݀ߠ

+
ݎ

sin

ߠ ݀߮

2.14. Гравитационное замедление времени.
Имея решение Шварцшильда, можно немедленно прийти к одному из важнейших проверяемых эффектов общей теории относительности, которого не могла предсказать ни классическая механика, ни специальная
теория относительности. Если рассмотреть неподвижного наблюдателя в поле тяготения, то для двух близких событий его истории окажется
݀߬

=
ሺ1 − 2ܩܯ/ݎܿ

ሻ݀ݐ

=
ሺ1 + 2ߔ/ܿ

ሻ݀ݐ

Поскольку классический потенциал
ߔ всюду отрицателен, то ݀߬ < ݀ݐ. Таким образом, существует гравитационное замедление времени: часы в поле тяготения идут медленнее.
2.15. Отклонение света.
Эффект замедления времени можно интерпретировать и иначе: для стороннего наблюдателя скорость света в гравитационном поле меньше скорости света в пустоте.
Здесь уместно вспомнить, что в повседневной жизни аналогичным свойством обладает распространение света в прозрачном веществе, чем пользуются при изготовлении линз: пропускание света через вещество приводит к отклонению световых лучей. Следовательно, возможно и гравитационное линзирование, когда роль оптически неоднородной среды играет переменное гравитационное поле. Такой гравитационной линзой может служить любое массивное тело. В частности, отклонение света далёких звёзд Солнцем, измеренное Эддингтоном во время солнечного затмения, послужило первым сильным аргументом в пользу общей теории относительности.
2.16. Чёрные дыры.
Ещё одной любопытной особенностью решения Шварцшильда является то, что существует такое расстояние от притягивающего центра
ݎ = ݎ

(радиус
Шварцшильда), что знаменатель 1 − 2
ܩܯ/ݎ

ܿ

обращается в ноль и решение перестаёт существовать – в этом месте возникает сингулярность, в которой многие законы физики перестают действовать. Для большинства тел Вселенной этот радиус намного меньше размеров самих этих тел и потому никак себя не проявляет. Однако можно вообразить объекты настолько плотные, что их размер оказывается меньше радиуса Шварцшильда. Такие тела должны быть окружены сингулярной сферой Шварцшильда радиуса
ݎ

, разделяющей две области мира – внутреннюю и внешнюю, так что никакой сигнал не может покинуть пределов этой сферы. Такие гипотетические тела не способны излучать и отражать свет и поэтому получили название чёрных дыр. По самой своей сути они недоступны для непосредственного наблюдения астрономами. По сей день есть лишь косвенные признаки их существования – в частности, эффекты гравитационного линзирования.
2.17. Гравитационные волны.
Любое изменение конфигурации тяготеющих масс должно вызывать возмущение их гравитационного поля. Согласно специальной теории относительности, это возмущение не может мгновенно охватить всю Вселенную, а должно распространяться от источника с некоторой конечной скоростью, не превышающей скорость света. Поэтому любая релятивистская теория тяготения должна предсказывать распространение таких всплесков – гравитационных волн.
В общей теории относительности выводится, что источником гравитационных волн оказывается любой гантелеобразный объект, совершающий либо вращение по перпендикулярной оси, либо колебания, сопровождающиеся изменением расстояния между двумя его массами.
Такими свойствами обладают, например, двойные звёздные системы, вращающиеся вокруг общего центра масс. Поскольку гравитационные волны должны уносить с собой энергию, то энергия самой звёздной системы должна убывать, а вместе с ней должны уменьшаться радиус орбиты и период обращения. Такого рода эффекты действительно наблюдаются и служат косвенным подтверждением общей теории относительности. Тем не менее, ни одна попытка непосредственной регистрации гравитационных волн (например, проект LIGO) на сегодняшний день не увенчалась успехом.
2.18. Геодезическая прецессия.
Говоря о тензоре кривизны, мы отметили, что в искривлённом пространстве-времени параллельный перенос вектора по замкнутому контуру меняет его направление. Этот эффект был непосредственно обнаружен на спутнике Gravity Probe
B, обращающемся вокруг Земли, в виде геодезической прецессии – постепенного отклонения осей вращения гироскопов от фиксированного направления, которое задавалось телескопом, нацеленным на далёкую звезду. Это отклонение не вызвано моментами сил и потому никак не объясняется классической механикой. Оно связано лишь со специфическими свойствами пространства, искривлённого тяготением Земли.
2.19. Нерешённые вопросы.
Несмотря на очевидный успех, общая теория относительности оказалась неспособна ответить на ряд вопросов.
1) Объединение гравитации и электромагнетизма. Предлагался ряд теорий, в которых уравнения Эйнштейна и Максвелла получались бы единообразно из общего геометрического
уравнения. Ни одна из этих теорий не выдержала проверки на внутреннюю целостность и соответствие опытным данным.
2) Квантовая гравитация. В отличие от всех остальных фундаментальных взаимодействий, для гравитации не создано адекватной квантовой теории. Геометрический подход общей теории относительности оказывается несовместимым с методами квантовой механики.
3) Объяснение ускоренного расширения Вселенной. Общая теория относительности допускает решение, описывающее равномерное расширение Вселенной, обнаруженное Хабблом.
Однако недавно открытое ускоренное расширение Вселенной требует либо видоизменения уравнений тяготения, либо введения гипотетической тёмной энергии, обладающей весьма экзотическими свойствами и при этом ненаблюдаемой.
4) Прямое обнаружение гравитационных волн. Общая теория относительности не даёт никаких точных предсказаний интенсивности гравитационных волн, достигающих Земли. Тем не менее, считается, что чувствительности современных детекторов должно быть достаточно для их обнаружения. Однако ни одного успешного эксперимента до сих пор не было проведено.

Литература
Основная литература
1. Эддингтон А. С. Пространство, время и тяготение. Одесса, 1923.
2. Эддингтон А. С. Теория относительности в математическом изложении. Л.–М., 1934.
3. Ohanian H. C., Ruffini R. Gravitation and Spacetime. N. Y., 2013.
Дополнительная литература
4. Эйнштейн А. Основы общей теории относительности. В сб.: Эйнштейн А. Собрание научных трудов. Т. 1. М., 1965.
5. Эйнштейн А. Сущность теории относительности. В сб.: Эйнштейн А. Собрание научных трудов.
Т. 2. М., 1966.
6. Misner C. W., Thorne K. S., Wheeler J. A. Gravitation. San Francisco, 1973.
1   2   3

перейти в каталог файлов


связь с админом